在Rt△ABC中,BC=9, CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB于点E.(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(
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在Rt△ABC中,BC=9, CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB于点E.(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(
题型:不详
难度:
来源:
在Rt△ABC中,BC=9, CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连结EF,求
的值.
答案
(1)证明:由已知DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆,
∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点,连结OD,
∵
,∴
.
又∵BD为∠ABC的平分线,∴
.
∵
,∴
.
∴
,即∴
又∵OD是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.
(2) 解:设⊙O的半径为r, 在Rt△ABC中,
,
∴
∵
,
,∴△ADO∽△ACB.
∴
.∴
.
∴
.∴
又∵BE是⊙O的直径.∴
.∴△BEF∽△BAC
∴
.
解析
(1)因为点D在⊙O上,所以只要连结圆心和圆上这点,证明OD和AC垂直即可.
利用角平分线、等腰三角形、直角三角形两锐角互余,完成证明.
(2)利用勾股定理求得AB的长.;利用△ADO∽△ACB对应线段成比例求得BE的长;利用△BEF∽△BAC得
=
,从而问题得解.
举一反三
如图,
内接于⊙O,
为⊙O的直径,
,
,过点
作⊙O的切线与
的延长线交于点
,求
的长.
题型:不详
难度:
|
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已知⊙O
1
和⊙O
2
的半径分别为3cm和5cm,且它们内切,则圆心距O
1
O
2
等于
cm.
题型:不详
难度:
|
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已知:如图,M是
的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4cm,MN=4
cm.
(1)求圆心O到弦MN的距离;
(2)求∠ACM的度数.
题型:不详
难度:
|
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已知直角三角形两条直角边的长是
和
,则其内切圆的半径是______.
题型:不详
难度:
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用圆心角为
,半径为
的扇形做成一个无底的圆锥侧面,则此圆锥的底面半径为
.
题型:不详
难度:
|
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