如图,已知矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E为CD边上的一个动点,连结AE、BE,以AE为直径作圆,交AB于点F,过点F作FH⊥BE于H,直线FH交⊙O
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如图,已知矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E为CD边上的一个动点,连结AE、BE,以AE为直径作圆,交AB于点F,过点F作FH⊥BE于H,直线FH交⊙O
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如图,已知矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E为CD边上的一个动点,连结AE、BE,以AE为直径作圆,交AB于点F,过点F作FH⊥BE于H,直线FH交⊙O于点G.
(1)求证:⊙O必经过点D;
(2)若点E运动到CD的中点,试证明:此时FH为⊙O的切线;
(3)当点E运动到某处时,AE∥FH,求此时GF的长.
答案
(1)证明:∵矩形ABCD中,∠ADC=90°,且O为AE中点,
∴OD=
AE,
∴点D在⊙O上.
(2)证明:如图,连结OF、EF.
易证AFED为矩形,
∴AF=DE.
∵E为CD的中点,
∴F为AB的中点.
∴OF为△ABE的中位线,
∴OF∥EB.
∵FH⊥EB,∴OF⊥FH.
∴FH为⊙O的切线.
(3)解:作OM⊥FG,连结OF.
∵AE∥FH,∴∠AEB=90°.
易证△ADE∽△ECB,
由相似得:DE=2或8.
①当DE=2时,
如图,AF=2,FB=8,EB=4
,AE=2
.
由△BFH∽△BAE得,HB=
,∴OM=EH=
.
∴FG=2FM=
.
②当DE=8时,
如图,同上解法,可得OG=
AE=2
.
OM=EH=
.
∴FG=2GM=
.
解析
(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一边得出结论;
(2)连结OF、EF,证出OF⊥FH,从而得出FH为⊙O的切线;
(3)分DE=2或8二种情况进行讨论。
举一反三
如图,有一块圆形铁皮,BC是⊙O的直径,
,在此圆形铁皮中剪下一个扇形(阴影部分).
(1)当⊙O的半径为2时,求这个扇形(阴影部分)的面积(结果保留
);
(2)当⊙O的半径为R(R>0)时,在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形
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如图,
是
的切线,切点为A,PA=2
,∠APO=30°,则
的半径为
A.1
B.
C.2
D.4
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.已知:⊙
和⊙
的半径分别为10
和4
,圆心距为6
,则⊙
和⊙
的位置关系是( )
A.外切
B.相离
C.相交
D.内切
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如图:
是⊙
的直径,
、
在圆上,已知∠
=
,
=
,则
长为________.
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