AD,BE,CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1,从B引FD的垂线l2,从C引DE的垂线l3.求证:l1,l2,l3三线共点.
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AD,BE,CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1,从B引FD的垂线l2,从C引DE的垂线l3.求证:l1,l2,l3三线共点. |
答案
证明:设l1、l2交于O点, ∵∠ADB=∠AEB=90°, ∴A、B、D、E四点共圆, ∴∠BED=∠BAD, 同理,由B、C、E、F四点共圆,得∠BEF=∠BCF, 由互余关系可知∠BAD=∠BCF, ∴∠BEF=∠BED, 又BE⊥AE,l1⊥EF, ∴∠BEF=∠OAE, 同理可证∠BED=∠OCE,∴∠OAE=∠OCE, ∴O点为AC中垂线上的点, 设l2、l3交于O′点, 同理可证O′为BC中垂线上的点, ∵三角形的三边中垂线交于一点(外心), ∴l1,l2,l3三线共点. |
举一反三
已知A为⊙O上的点,⊙O的半径为1,该平面上另有一点P,PA=,那么点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内 | B.点P在⊙O上 | C.点P在⊙O外 | D.无法确定 |
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如图,已知点A在⊙O上,点B在⊙O外,求作一个圆,使它经过点B,并且与⊙O相切于点A.(要求写出作法,不要求证明)
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△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AC=3,以C为圆心,r为半径作⊙C,如果点B在圆内,而点A在圆外,那么r的取值范围是______. |
下列说法正确的是( )A.平面上三点确定一个圆 | B.以两条已知线段为弦能画且只能画一个圆 | C.以一条已知线段为弦能画且只能画两个圆 | D.以一条已知线段为直径能画且只能画一个圆 |
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折叠圆心为O、半径为10cm的圆形纸片,使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点,都这样折叠纸片,从而都有一条折痕.那么,所有折痕所在直线上点的全体为( )A.以O为圆心、半径为10cm的圆周 | B.以O为圆心、半径为5cm的圆周 | C.以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 | D.以O为圆心、半径为5cm的圆周及圆外部分 |
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