已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.(1)求证:PA=PD
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已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD. (1)求证:PA=PD; (2)求证:P是线段AF的中点.
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答案
(1)证明:∵BD平分∠CBA, ∴∠CBD=∠DBA, ∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角, ∴∠DAC=∠CBD, ∴∠DAC=∠DBA, ∵AB是⊙O的直径,DE⊥AB, ∴∠ADB=∠AED=90°, ∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DBA+∠DAE=90°, ∴∠ADE=∠DBA, ∴∠DAC=∠ADE,即PA=PD;
(2)证明:∵AB为直径, ∴∠ADB=90°, ∵DE⊥AB于E, ∴∠DEB=90°, ∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°, ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP, ∴PD=PA, ∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADB=90°, ∴∠PDF=∠PFD, ∴PD=PF, ∴PA=PF,即P是线段AF的中点. |
举一反三
如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上,下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P( )A.到CD的距离保持不变 | B.位置不变 | C.等分 | BD |
| D.随C点移动而移动 |
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如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD=( )
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如图,等边三角形ABC内接于⊙O,连接OB,OC,那么∠BOC的度数是( ) |
如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB交AB于点D.E是OB上的一点,直线CE与⊙O交于点F,连接AF交直线CD于点G,AC=2,则AG•AF是( )
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已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC交弦AB于点P,且AB=10cm,PB=4cm,PC=2cm,则OC的长等于______cm.
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