如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C₁（

3

，0）移动到点C₂（3

3

，0）点F移动的行程．

答案

（1）证明：∵AO是两圆内的公切线，
∴AO²=AE•AB=AF•AC，
∴

AE

AF

=

AC

AB

又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；

（2）∵△AFE∽△ABC，
∴

AF

AB

=

AE

AC

=

FE

BC

，
当AF=AE，即AB=AC时，OC=OB
∴m=2，
当AE=FE，即AB=BC时，

4+9

=2+m，
∴m=

13

-2
当AF=FE，即AC=BC时，9+m²=（2+m）²，
解得m=

5

4

∴m的值为2或

13

-2或

5

4

；

（3）∠AFO始终为直角，且OA为定值
∴OA=3，OC₁=

3

，
∴tan∠OAC₁=

3

3

，
∴∠OAC₁=30°，
同理可得∠OAC₂=60°
∴∠C₁AC₂=30°
∴点F移动的行程为

(2×30)×π× 3 2

180

=

π

2

．