(1)证明:连接AC,如图 ∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC(1分) 又∵∠BDC=∠BAC 在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB ∴∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC(3分) ∴CF=BF;(4分)
(2)解法一:作CG⊥AD于点G, ∵C是弧BD的中点 ∴∠CAG=∠BAC, 即AC是∠BAD的角平分线.(5分) ∴CE=CG,AE=AG(6分) 在Rt△BCE与Rt△DCG中, CE=CG,CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL) ∴BE=DG(7分) ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG 即6-BE=2+DG ∴2BE=4,即BE=2(8分) 又∵△BCE∽△BAC ∴BC2=BE•AB=12(9分) BC=±2(舍去负值) ∴BC=2.(10分)
解法二:∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°,(5分 在Rt△ADB与Rt△FEB中, ∵∠ABD=∠FBE ∴△ADB∽△FEB, 则=,即=, ∴BF=3EF(6分) 又∵BF=CF, ∴CF=3EF 利用勾股定理得: BE==2EF(7分) 又∵△EBC∽△ECA 则=, 则CE2=AE•BE(8分) ∴(CF+EF)2=(6-BE)•BE 即(3EF+EF)2=(6-2EF)•2EF ∴EF=(9分) ∴BC==2.(10分) |