如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD2=DE•DB；（2）若BC=52，CD=52，求DE的长

题型：不详难度：来源：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧

AC

的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD²=DE•DB；
（2）若BC=

5

2

，CD=

5

2

，求DE的长．

答案

（1）证明：由D是劣弧

AC

的中点，得

AD

=

DC

⇒∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴

AD

DE

=

DB

AD

，
∴AD²=DE•DB；

（2）由D是劣弧

AC

的中点，得AD=DC，则DC²=DE•DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=

BC2-CD2

=

( 5 2 )2-( 5 2 )2

=

5

由DC²=DE•DB得，(

5

2

)2=

5

DE，
解得DE=

5

4

．