如图,AB为半圆O的直径,OC⊥AB交⊙O于C,P为BC延长线上一动点,D为AP中点,DE⊥PA,交半径OC于E,连CD.下列结论:①PE⊥AE;②DC=DE;

如图,AB为半圆O的直径,OC⊥AB交⊙O于C,P为BC延长线上一动点,D为AP中点,DE⊥PA,交半径OC于E,连CD.下列结论:①PE⊥AE;②DC=DE;

题型:不详难度:来源:
如图,AB为半圆O的直径,OC⊥AB交⊙O于C,P为BC延长线上一动点,D为AP中点,DE⊥PA,交半径OC于E,连CD.下列结论:①PE⊥AE;②DC=DE;③∠OEA=∠APB;④PC+


2
CE为定值.其中正确结论的个数为(  )
A.l个B.2个C.3个D.4个

答案
①如图:∵点D是AP的中点,且DE⊥AP,∴DE是AP的垂直平分线,
又AB是半⊙O的直径,OC⊥AB,∴OC是AB的垂直平分线,
∴点E是△ABP的外心,
∵∠ABC=45°,∴∠AEP=90°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)
∴PE⊥AE,故①正确.
②∵AB是半⊙O的直径,∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP,
∴点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上,∴DC=DE,故②正确.
③由①知点E是△ABP的外心,∴∠APB=
1
2
∠AEB=∠AEO,故③正确.
④在直角△APC中,PC=AP•cos∠APC=


2
AE•cos∠AE0=


2
AE•
OE
AE
=


2
OE,
∴PC+


2
CE=


2
OE+


2
CE=


2
(OE+CE)=


2
OC,
∴PC+


2
CE为定值,是⊙O半径的


2
倍.故④正确.
故选D.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是(  )
A.2.4B.2C.2.5D.2


2

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(1)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.请找出图中的一对全等三角形,并给予证明;

(2)规定:一条弧所对的圆心角的度数作为这条弧的度数.
①如图,在⊙O中,弦AC、BD相交于点P,已知弧AB、弧CD分别为65°和45°,求∠APB;
②一般地,在⊙O中,弦AC、BD相交于点P,若弧AB、弧CD分别为m°和n°,求∠APB.
(用m、n的代数式表示)
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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,若∠ACO=32°,则∠COB的度数等于______度.
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如图,△ABC内接于⊙O,其外角平分线AD交⊙O于D,DM⊥AC于M,下列结论:其中正确的有(  )
①DB=DC;②AC-AB=2AM;③AC+AB=2CM;④S△ABD=2S△CDB
A.只有④②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

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如图,A、B、C三点是⊙O上的点,∠ABO=55°,则∠BCA为(  )
A.70°B.50°C.45°D.35°

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