已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).(I)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程;(II)设x1,x
题型:浙江难度:来源:
已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b). (I)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程; (II)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后的等差数列,并求x4. |
答案
(Ⅰ)当a=1,b=2时, 因为f′(x)=(x-1)(3x-5) 故f′(2)=1 f(2)=0, 所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2; (Ⅱ)证明:因为f′(x)=3(x-a)(x-), 由于a<b. 故a<. 所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=, 因为x3≠x1,x3≠x2, 且x3是f(x)的零点,故x3=b. 又因为-a=2(b-), x4=(a+)=, 所以a,,,b依次成等差数列, 所以存在实数x4满足题意,且x4=. |
举一反三
已知函数f(x)=,求导函数f"(x),并确定f(x)的单调区间. |
如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)=______,f′(5)=______. |
函数y=xcosx的导数为( )A.y′=cosx-xsinx | B.y′=cosx+xsinx | C.y′=xcosx-sinx | D.y′=xcosx+sinx |
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若函数y=xlnx,则它的导函数y"=( )A..lnx | B..l | C.l+xlnx | D..l+lnx |
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曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是______. |
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