已知函数f(x)=2x-b(x-1)2，求导函数f"（x），并确定f（x）的单调区间．

题型：北京难度：来源：

已知函数f(x)=

2x-b

(x-1)2

，求导函数f"（x），并确定f（x）的单调区间．

答案

f′(x)=

2(x-1)2-(2x-b)•2(x-1)

(x-1)4

=

-2x+2b-2

(x-1)3

=-

2[x-(b-1)]

(x-1)3

．
令f"（x）=0，得x=b-1．
当b-1＜1，即b＜2时，f"（x）的变化情况如下表：



当b-1＞1，即b＞2时，f"（x）的变化情况如下表：



所以，当b＜2时，函数f（x）在（-∞，b-1）上单调递减，在（b-1，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减．
当b＞2时，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，b-1）上单调递增，在（b-1，+∞）上单调递减．
当b-1=1，即b=2时，f(x)=-

2

(x-1)2

，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．