已知:如图,在⊙O中M,N分别为弦AB,CD的中点,AB=CD,AB不平行于CD.求证:∠AMN=∠CNM.

已知:如图,在⊙O中M,N分别为弦AB,CD的中点,AB=CD,AB不平行于CD.求证:∠AMN=∠CNM.

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在⊙O中M,N分别为弦AB,CD的中点,AB=CD,AB不平行于CD.
求证:∠AMN=∠CNM.
答案
证明:连接OM,ON,AO,OC,如图所示,
∵M、N分别为AB、CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
又AB=CD,∴AM=CN,
在Rt△AOM和Rt△CON中,





OA=OC
AM=CN

∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),
∴OM=ON,
∴∠OMN=∠ONM,
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM,即∠AMN=∠CNM.
举一反三
(1)如图1,是一个破损的机器部件,它的残留边缘是圆弧,请作图找出圆心.
(用尺规作图,保留作图痕迹,不写出作法,不用证明)
(2)在图2中,画出△ABC关于点O为对称中心的对称图形,并以B点为旋转中心,把△ABC按顺时针方向旋转90度,并标明对应字母.
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已知⊙O中,弦AB长为2


3
,OD⊥AB于点D,交劣弧AB于点C,CD=1,则⊙O的半径是(  )
A.1B.2C.3D.4
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如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,在点A处有一栋居民楼,AO=300m,如果火车行驶时,周围200m以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时,居民楼是否会受到噪音的影响?如果火车行驶的速度是72km/h,居民楼受噪音影响的时间约为多少s.(


7
=2.646
,精确到0.1s)
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如图,△ABC内接于⊙O,若⊙O的半径是2,AB=3,则sinC=______.
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如图所示,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)如果⊙O的半径为4,CD=4


3
,求∠BAC的度数;
(2)若点E为
ADB
的中点,连接OE,CE.求证:CE平分∠OCD;
(3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC距离为3的点有多少个?并说明理由.
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