已知：如图，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD．求证：∠AMN=∠CNM．

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已知：如图，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD．
求证：∠AMN=∠CNM．

答案

证明：连接OM，ON，AO，OC，如图所示，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
又AB=CD，∴AM=CN，
在Rt△AOM和Rt△CON中，
∵

OA=OC

AM=CN

，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM，即∠AMN=∠CNM．

举一反三

（1）如图1，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆心．

（用尺规作图，保留作图痕迹，不写出作法，不用证明）
（2）在图2中，画出△ABC关于点O为对称中心的对称图形，并以B点为旋转中心，把△ABC按顺时针方向旋转90度，并标明对应字母．

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已知⊙O中，弦AB长为2

，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=300m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度是72km/h，居民楼受噪音影响的时间约为多少s．（

=2.646，精确到0.1s）

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如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径是2，AB=3，则sinC=______．

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如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）如果⊙O的半径为4，CD=4

，求∠BAC的度数；
（2）若点E为

ADB

的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．

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