如图,已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E,交⊙O于点F,且AE=BE.(1)求证:AB=AF

如图,已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E,交⊙O于点F,且AE=BE.(1)求证:AB=AF

题型:不详难度:来源:
如图,已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E,交⊙O于点F,且AE=BE.
(1)求证:
AB
=
AF

(2)若BE•EF=32,AD=6,求BD的长.
答案
(1)证明:连接BH,
根据垂径定理可知弧AB=弧BH,
∴∠BAH=∠BHA.
∵AE=BE,
∴∠BAH=∠ABF.
∴∠BHA=∠ABF.
AB
=
AF


(2)∵BE•EF=32,
∴AE•EH=32.
∵AD=6,
∴AH=12.
∴AE•(12-AE)=32.
解得AE=4或8,
从图中可知AE=4,DE=2
∵AE=BE,
∴BE=4.
∴BD=


42-22
=2


3

举一反三
如图,AB是⊙O的直径,MN是弦,AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,AB=10,MN=8,求BF-AE的值.
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如图,点M是半径为5的⊙O内一点,且OM=3,在过点M的所有⊙O的弦中,弦长为偶数的弦的条数为(  )
A.2B.3C.4D.5

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在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为1:5两部分,AB=6厘米,则弦CD的长为______.
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如图,将⊙O沿着弦AB翻折,劣弧恰好经过圆心Ο,若⊙O的半径为4,则弦AB的长度等于______.
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如图,EF是圆O的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,则E,F两点到直线MN距离的和等于(  )
A.12cmB.6cmC.8cmD.3cm

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