如图，⊙O的直径AB=6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，当=7+4时，是否存在m正实数，使弦CD最短？若存在，请求

题型：北京月考题难度：来源：

如图，⊙O的直径AB=6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，当=7+4时，是否存在m正实数，使弦CD最短？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。
∴CP⊥AB于P，
∵=7+，设AP=k，则BP=7+，又AB=6
∴（7++1）k=6，
解得k=
∴OP=OA-AP=3-=
在Rt△POD中，cos∠POD=，
∴∠POD=30°，∠ACD=15°
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=90°-15°=75°
∵∠BCD=m∠ACD
∴m=5，即存在正实数，使CD弦最短。