如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点.(1)当△PCF满足什么条件时,

如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点.(1)当△PCF满足什么条件时,

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如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧
AC
上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点.
(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切.为什么?
(2)当点D在劣弧
AC
的什么位置时,才能使AD2=DE•DF.为什么?
答案
(1)当PC=PF(∠PCF=∠PFC或△PCF为等边三角形)时,PC与⊙O相切.
连接OC,则∠OCA=∠FAH
∵PC=PF
∴∠PCF=∠PFC=∠AFH
∵DE⊥AB于H
∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC
∴PC与⊙O相切

(2)当点D是弧AC的中点时,AD2=DE•DF.
连接AE
∵弧AD=弧CD
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADF=∠EDA
∴△DAF△DEA
AD
DE
=
DF
AD

即AD2=DE•DF.
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点,则R的取值范围是______.
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如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,PA=8,OA=6,则tan∠APO的值为(  )
A.
3
4
B.
3
5
C.
4
5
D.
4
3

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如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,BA=PC=2,则PD的长是______.
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已知:如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于C点,AB=12cm.求两个圆之间的圆环面积.
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如图,AC是圆O的直径,PA切圆O于点A,弦BCOP,OP交圆O于点D,连接PB
(1)求证:PB是圆O的切线;
(2)若PA=3,PD=2,求圆O的半径R的长.
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