如图,已知AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC.(1)求证:△ABC∽△POA;(2)若AB=2,PA=2,求BC的长.

如图,已知AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC.(1)求证:△ABC∽△POA;(2)若AB=2,PA=2,求BC的长.

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,过点B作BCOP交⊙O于点C,连接AC.
(1)求证:△ABC△POA;
(2)若AB=2,PA=


2
,求BC的长.(结果保留根号)
答案
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵PA是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵BCOP,
∴∠AOP=∠CBA.
则△ABC△POA.

(2)∵AB是⊙O的直径,且AB=2,
∴OA=1.
∵在Rt△OAP中,PA=


2

OP=


PA2+OA2
=


3

∵由(1)可知△ABC△POA,
BC
OA
=
AB
OP

则BC=
AB•OA
OP
=
2×1


3

∴求得BC=
2
3


3
举一反三
如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是(  )
A.CE•CD=BE•BAB.CE•AE=BE•DE
C.PC•CA=PB•BDD.PC•PA=PB•PD

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如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切与点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与⊙O相交于点E,连接BC.
(1)求证:△PAD△ABC;
(2)若PA=10,AD=6,求AB和PE的长.
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如图,⊙O1和⊙O2外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点)相交于点C,已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4,则PC的长等于______.
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如图,AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点E是
BD
的中点,连接AE交BC于点F,当BD=5,CD=4时,求AF的值.
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已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为


5
过C作⊙A的切线交x轴于点B.
(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
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