(1)证明:连接OC, ∵AE⊥MN,BF⊥MN, ∴AE∥BF,而AB≠EF, ∴四边形ABFE为梯形, ∵直线MN和⊙O切于点C, ∴OC⊥MN, ∴OC∥AE∥BF, ∴OA=OB, ∴OC为梯形ABFE的中位线, ∴AE+BF=2OC, 即:AB=AE+BF;
(2)证明:连接BC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ECA+∠FCB=90°, ∵∠CBF+∠FCB=90°, ∴∠CBF=∠ECA, ∵∠AEC=∠BFC=90°, ∴△AEC∽△CFB, ∴EC:BF=AE:CF, ∴CF•EC=AE•BF, ∵CF=EC=EF, ∴EF2=4AE•BF, ∵AE=m,EF=n,BF=p, ∴n2=4mp;
(3)∵AB=AE+BF,⊙O的半径为5,AC=6, ∴AE+BF=10,BC==8, ∵△AEC∽△CFB, ∴AC:BC=EC:BF=6:8=3:4, ∵EC=FC, ∴CF:BF=3:4, 设CF=3x,BF=4x, 则(3x)2+(4x)2=64, 解得:x=, 即BF=, ∴AE=10-=, ∴AE•BF=, ∴以AE、BF的长为根的一元二次方程为:x2-x+10=0;
(4)由平移的性质,可得:四边形EFF′E′是矩形, ∴E′F′=EF, ∵EF2=4AE•BF, ∴E′F′2=4AE•BF, ∴n2=4mp; ∴将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时,m、n、p之间的关系为:n2=4mp;向下平行移动至与⊙O相离时,m、n、p之间的关系为:n2=4mp. |