(1)如图1所示,连接AC,则AC=, 在Rt△AOC中,AC=,OA=1,则OC=2, ∴点C的坐标为(0,2); 设切线BC的解析式为y=kx+b,它过点C(0,2),B(-4,0), 则有,解之得; ∴y=x+2.(4分)
(2)如图1所示,设点G的坐标为(a,c),过点G作GH⊥x轴,垂足为H点, 则OH=a,GH=c=a+2,(5分) 连接AP,AG; 因为AC=AP,AG=AG,所以Rt△ACG≌Rt△APG(HL), 所以∠AGC=×120°=60°, 在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=, ∴sin60°=,∴AG=;(6分) 在Rt△AGH中,AH=OH-OA=a-1,GH=a+2, ∵AH2+GH2=AG2, ∴(a-1)2+(a+2)2=()2, 解之得:a1=,a2=-(舍去);(7分) ∴点G的坐标为(,+2).(8分)
(3)如图2所示,在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形.(9分) 要使△AEF为直角三角形,∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE≠90°,∴只能是∠EAF=90°; 当圆心A在点B的右侧时,过点A作AM⊥BC,垂足为点M, 在Rt△AEF中,AE=AF=, 则EF=,AM=EF=; 在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,则BC=2, ∵∠BOC=∠BMA=90°,∠OBC=∠OBM, ∴△BOC∽△BMA, ∴=, ∴AB=, ∴OA=OB-AB=4-, ∴点A的坐标为(-4+,0);(11分) 当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,过点A′作A′M′⊥BC于点M′,可得: △A′M′B≌△AMB,A′B=AB=, ∴OA′=OB+A′B=4+, ∴点A′的坐标为(-4-,0); 综上所述,点A的坐标为(-4+,0)或(-4-,0).(13分)
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