如图,AB为⊙O的直径,割线PCD交⊙O于C、D,∠PAC=∠PDA.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PA=6,CD=3PC,求PD的长.

如图,AB为⊙O的直径,割线PCD交⊙O于C、D,∠PAC=∠PDA.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PA=6,CD=3PC,求PD的长.

题型:不详难度:来源:
如图,AB为⊙O的直径,割线PCD交⊙O于C、D,∠PAC=∠PDA.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PA=6,CD=3PC,求PD的长.
答案
(1)证明:连接BD;
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BDA=90°;
∵∠PAC=∠PDA,∠CAB=∠CDB,
∴∠PAC+∠CAB=∠PDA+∠CDB=∠BDA=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA是⊙O的切线.

(2)设PC=a;
∵CD=3PC,
∴CD=3a;
∵PA是⊙O的切线,PCD是割线,
∴PA2=PC•PD,
即62=a•(a+3a),
解得a=3,
PD=PC+CD=a+3a=4a,
∴PD=12.
举一反三
如图,△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D为AC上一点,以CD为直径的⊙O切AB于点E.求⊙O的半径长.
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如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F.
(1)猜想ED与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=6,AD=5,求AF的长.
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长方形ABCD中,AB=1,AD=


3
,以点B为圆心,BA长为半径作圆交BC于点E.在弧AE上找一点P,使过点P的⊙B的切线平分长方形的面积.设此切线交AD于点S,交BC于点T,则ST的长为______.
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如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CGAD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)试问:CG是⊙O的切线吗?说明理由;
(2)请证明:E是OB的中点;
(3)若AB=8,求CD的长.
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如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B分别是切点,点C是
AB
上任意一点,连接OA,OB,CA,CB,∠P=70°,求∠ACB的度数.
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