如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;

如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;

题型:不详难度:来源:
如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=
1
2
,求sin∠E.
答案
(1)证明:连接OA,
∵PA为⊙O的切线,
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴BC=CA,PB=PA,
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB为⊙O的切线;

(2)连接AD,
∵BD为直径,∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°
∴ADOP,
∴△ADE△POE,
EA
EP
=
AD
OP

由ADOC得AD=2OC
∵tan∠ABE=
1
2

OC
BC
=
1
2

设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC△BOC,
得PC=2BC=4t,OP=5t,
EA
EP
=
AD
OP
=
2
5

可设EA=2,EP=5,则PA=3,
∵PA=PB∴PB=3,
∴sin∠E=
PB
EP
=
3
5

举一反三
如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PBA是割线,交⊙O于A、B两点,与直径CT交于点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB等于(  )
A.6B.6


15
C.7D.20

题型:不详难度:| 查看答案
AB是⊙O的直径,D是⊙O上一动点,延长AD到C使CD=AD,连接BC,BD.
(1)证明:当D点与A点不重合时,总有AB=BC;
(2)设⊙O的半径为2,AD=x,BD=y,用含x的式子表示y;
(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切,则说明理由;若能相切,则指出x为何值时相切.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知BC是⊙O的直径,P是⊙O上一点,A是
BP
的中点,AD⊥BC于点D,BP与AD相交于点E.
(1)当BC=6且∠ABC=60°时,求
AB
的长;
(2)求证:AE=BE.
(3)过A点作AMBP,求证:AM是⊙O的切线.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,AB为⊙O的直径,割线PCD交⊙O于C、D,∠PAC=∠PDA.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PA=6,CD=3PC,求PD的长.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D为AC上一点,以CD为直径的⊙O切AB于点E.求⊙O的半径长.
题型:不详难度:| 查看答案
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