如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的

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如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

答案

（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵AB=2，∠P=30°，
∴AP=

AB

tan∠P

=

2

3 3

=2

3

，即AP=2

3

；

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，

OA=OC OD=OD(公共边) AD=CD

，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．