如图所示，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，AD=DC，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN．（1）证明：MN是⊙O的切线；（2）已知AB=10，AD=6，求弦B

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如图所示，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，

，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN．
（1）证明：MN是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长．

答案

（1）证明：连接OD，交AC于E，如图所示，
∵

，∴OD⊥AC；
又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，
所以MN是⊙O的切线．

（2）设OE=x，因AB=10，所以OA=5，ED=5-x；
又因AD=6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，
AE²=OA²-OE²=AD²-DE²，即：
5²-x²=6²-（5-x）²，解得x=

；
由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，则OD∥BC；
又AO=OB，则OE是△ABC的中位线，所以BC=2OE=2×

．

举一反三

如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为______．

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如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=

R．其中，使得BC=R的有（　　）

A．①②

B．①③④

C．②③④

D．①②③④

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如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的

半径为r．
（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；
（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

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如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，PA=2，则⊙O的直径AB等于（　　）

A．3

B．4

C．6

D．8

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如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

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