(1)证明:如图,连接OA. ∵AB=AC,∠ABC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=30°. ∴∠AOB=2∠ACB=60°, ∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA, 又∵OA是⊙O的半径, ∴AB为⊙O的切线;
(2)如图,连接AD. ∵CD是⊙O的直径, ∴∠DAC=90°. ∵由(1)知,∠ACB=30°, ∴AD=CD=4, 则根据勾股定理知AC==4,即弦AC的长是4;
(3)由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4,则S△ADC=AD•AC=×4×4=8. ∵点O是△ADC斜边上的中点, ∴S△AOC=S△ADC=4. 根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4,即图中阴影部分的面积是+4.
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