(1)证明:取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO, ∴BO=CO,∠BCO=∠OBC, ∵BC是∠DBE平分线, ∴∠DBC=∠CBA, ∴∠OCB=∠DBC, ∴OC∥DB,(内错角相等,两直线平行), ∴=,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC, ∵OC=r, ∴BD•CE=DE•r. ∵∠D=90°,∠E=30°, ∴∠DBE=60°, ∴∠CBE=∠DBE=30°, ∴∠CBE=∠E, ∴CE=BC, ∴BC•BD=r•ED.
(2)BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5, 设圆的半径长是r,则OC=OA=r, ∵OC∥DB, ∴△OCE∽BDE, ∴==,即== 解得:OE=r,CE=r. CH==r, ∵BC平分∠DBE交DE于点C,则△BDC≌△BHC, ∴BH=BD=3, 则HE=2. ∴CD=CH=r. 在直角△CHE中,根据勾股定理得:CH2+EH2=CE2, 即(r)2+22=(r)2,解得:r=, 则AE=BE-2r=5-=. |