如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE,若AB=4,A

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE,若AB=4,A

题型:不详难度:来源:
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,若AB=4,AD=3,求OE的长.
答案
(1)证明:连接OD,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=
1
2
BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为圆O的切线;

(2)在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,
根据勾股定理得:BD=


AB2-AD2
=


7

∵∠DAB=∠BAC,∠ADB=∠CBA=90°,
∴△ADB△ABC,
AD
AB
=
DB
BC
,即
3
4
=


7
BC

解得:BC=
4


7
3

在Rt△ABC中,根据勾股定理得:AC=


AB2+BC2
=
16
3

∵E为BC的中点,O为AB的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
则OE=
1
2
AC=
8
3

举一反三
已知:如图PT是⊙O的切线,T为切点,PAB是经过圆心O的割线.
(1)求证:∠PTA=∠BTO;
(2)若PT=4,PA=2,求sinB的值.
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在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,求
EF
AC
的值.
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如图,已知⊙O1与⊙O2外切于A,AB是⊙O2的直径,BC切⊙O1于C,若∠B=30°,BC=6


3

求:(1)∠BCA的度数;(2)⊙O1与⊙O2的半径.
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如图,OA、OB是⊙O的半径,OA⊥OB,C为OB延长线上一点,CD切⊙O于点D,E为AD与OC的交点,连接OD.已知CE=5,求线段CD的长.
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如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=
3
5
,求PE的长.
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