如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm，BC=4c

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长．

答案

（1）证明：∵XY是⊙O的切线，
∴∠1=∠2．
∵BD∥XY，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．（2分）
∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD．（4分）

（2）∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB．（6分）
∴

，
∴AC•CE=BC²
即AC•（AC-AE）=BC²．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴6（6-AE）=16．（7分）
∴AE=

（cm）．（8分）

举一反三

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC

于点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若AB=4，AD=3，求OE的长．

题型：不详难度：| 查看答案

已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是经过圆心O的割线．
（1）求证：∠PTA=∠BTO；
（2）若PT=4，PA=2，求sinB的值．

题型：不详难度：| 查看答案

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求

的值．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于A，AB是⊙O₂的直径，BC切⊙O₁于C，若∠B=30°，BC=6

．
求：（1）∠BCA的度数；（2）⊙O₁与⊙O₂的半径．

题型：不详难度：| 查看答案