如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6cm,BC=4c

如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6cm,BC=4c

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BDXY,AC、BD相交于点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长.
答案
(1)证明:∵XY是⊙O的切线,
∴∠1=∠2.
∵BDXY,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4. (2分)
∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD. (4分)

(2)∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,
∴△BCE△ACB. (6分)
BC
AC
=
CE
CB

∴AC•CE=BC2
即AC•(AC-AE)=BC2
∵AB=AC=6,BC=4,
∴6(6-AE)=16. (7分)
∴AE=
10
3
(cm). (8分)
举一反三
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC于点E.
(1)求证:AC是∠EAB的平分线;
(2)若BD=2,DC=4,求AE和BC的长.
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如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,若AB=4,AD=3,求OE的长.
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已知:如图PT是⊙O的切线,T为切点,PAB是经过圆心O的割线.
(1)求证:∠PTA=∠BTO;
(2)若PT=4,PA=2,求sinB的值.
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在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,求
EF
AC
的值.
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如图,已知⊙O1与⊙O2外切于A,AB是⊙O2的直径,BC切⊙O1于C,若∠B=30°,BC=6


3

求:(1)∠BCA的度数;(2)⊙O1与⊙O2的半径.
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