如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,∠C=22.5°,∠A=45度.求证:直线AB是⊙O的切线.

如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,∠C=22.5°,∠A=45度.求证:直线AB是⊙O的切线.

题型:不详难度:来源:
如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,∠C=22.5°,∠A=45度.求证:直线AB是⊙O的切线.
答案
证明:连接OB(如图).
∵OB、OC是⊙O的半径,
∴OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB=22.5°,
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=45°.
∵∠A=45°,
∴∠OBA=180°-(∠AOB+∠A)=90°.
∵OC是⊙O的半径,
∴直线AB是⊙O的切线.
(过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线)
举一反三
如图,已知直线MN经过⊙O上的点A,点B在MN上,连OB交⊙O于C点,且点C是OB的中点,AC=
1
2
OB,若点P是⊙O上的一个动点,当AB=2


3
时,求△APC的面积的最大值.
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如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图(1)所示时,连接AC,作∠APC的平分线,交AC于点D,请你测量出∠CDP的度数;
(2)当点P的位置发生改变时(如图(2)),由以上的过程形成的角∠CDP的度数是否发生变化?请对你的猜想加以证明.
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如图,点P是⊙O直径AB的延长线上一点,PC切⊙O于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于(  )
A.2B.3C.4D.5

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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是______.
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如图,AB是⊙O的切线,A为切点,AC是⊙O的弦,过O作OH⊥AC于点H,若OH=2,AB=12,BO=13.求:
(1)⊙O的半径;
(2)sin∠OAC的值;
(3)弦AC的长(结果保留含有根号的式子).
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