如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=5,DC=2,求sin∠CAB的值以及AB的长.

如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=5,DC=2,求sin∠CAB的值以及AB的长.

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.
(1)求证:AD⊥DC;
(2)若AD=


5
,DC=2,求sin∠CAB的值以及AB的长.
答案
(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,
∴∠CAO=∠OCA.
又∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
∴ADOC.
又∵直线CD与⊙O相切于点C,
∴∠OCD=90°,
∴∠ADC=90°,即AD⊥DC;

(2)连接BC.
由(1)知,∠ADC=90°,
∴根据勾股定理知,AC=


AD2+CD2
=3

∵AB为圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB=90°.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴△ADC△ACB,
AD
AC
=
AC
AB
,即


5
3
=
3
AB

AB=
9
5


5

sin∠CAB=sln∠DAC=
DC
AC
=
2
3

举一反三
如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴,点P在直线l上运动.当点P的横坐标为12时,直线OP与⊙A的位置关系是(  )
A.相交B.相切C.相离D.不能确定

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如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作ACBD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6


3
cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径长;
(3)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积(结果保留π).
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如图⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D.若⊙O的半径为3,则CD的长为______.
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如图,线段AB与⊙O相切于点C,连接OA,OB,已知OA=OB=5cm,AB=8cm,求⊙O的半径.
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如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°,求∠APB的度数.
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