如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=5，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的长．

题型：不详难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=

5

，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的长．

答案

（1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；

（2）连接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根据勾股定理知，AC=

AD2+CD2

=3．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

5

3

=

3

AB

．
∴AB=

9

5

5

，
∴sin∠CAB=sln∠DAC=

DC

AC

=

2

3

．