(1)连接O1G, 设点E出发t秒,则E(t,0),F(0,2t); 设直线EF的方程为y=kx+b,则, ∴解得, ∴y=-2x+2t, ∴直线OB的方程为y=x; ∵解方程组, 得, ∴G(t,t); ∵O1是BE的中点, ∴O1(,1), ∴O1G2=(-t)2+(1-t)2=t2-2t+5,O1B2=(4-)2+12=t2-2t+5, ∴O1G=O1B,点G在⊙O1上.
(2)设t秒时FB与⊙O1相切,那么E(t,0),F(0,2t),∠FBE=90°; ∵EF2=BE2+BF2,EF2=OE2+OF2, ∴(4-t)2+22+42+(2-2t)2=t2+(2t)2, 解得t=2.5.
(3)设点F出发t秒,则E(t+2,0),F(0,2t), 设P(x,y); ∵tan∠FAO=y:(4-x)=2t:4, ∴x=4-y, ∴P(4-y,y). ∵BE为直径, ∴∠BPE=90°. ∵PE2+BP2=BE2 ∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得, ∴y=, ∴x=, 即P(,), ∴AP2=(4-)2+()2, ∴AP=×,AF==2. ∴AP•AF=8,是不会发生变化的. |