如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A,AD与BC交于点E,F在DA的延长线上,且AF=AE.(1)试判断BF与⊙O的位置关系,

如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A,AD与BC交于点E,F在DA的延长线上,且AF=AE.(1)试判断BF与⊙O的位置关系,

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如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A,AD与BC交于点E,F在DA的延长线上,且AF=AE.
(1)试判断BF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BF=5,cos∠C=
4
5
,求⊙O的直径.
答案
证明:(1)BF与⊙O相切,连接OB、OA,连接BD(1分),
∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°,
∴BD是直径,∴BD过圆心
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D,
∵AD⊥AB,
∴∠ABD+∠D=90°,
∵AF=AE,
∴∠EBA=∠FBA,
∴∠ABD+∠FBA=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是⊙O切线(4分);

(2)∵∠C=∠D,cos∠C=
4
5

∴cos∠D=
4
5

∵BF=5,
BD
DF
=
4
5

BF
DF
=
3
5

∴BD=
4
3
×5=
20
3

∴直径为
20
3
(8分).
举一反三
已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连接CD.
(1)求证:PABC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.
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如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点C,∠PCB=35°,则∠B等于______度.
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如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上运动(与A、B两点不重合),如果∠P=46°,那么∠ACB的度数是______.
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如图,两个同心圆的半径分别是3cm和6cm,大⊙O的弦MN=6


3
cm,试判断MN与小⊙O的位置关系,并说明理由.
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如图,AB为⊙O的弦,C为劣弧AB的中点.
(1)若⊙O的半径为5,AB=8,求tan∠BAC;
(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断AD与⊙O的位置关系,并说明理由.
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