已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚

已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚

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已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是______(结果保留准确值).
答案
如图;
设△ABC的内切圆半径为R,△DEF的内切圆半径为r;
依题意有:
1
2
×84×R=210,即R=5;
易知:△DEF△ABC,且r:R=4:5,
∴C△DEF=
4
5
C△ABC=67.2;
易知:被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似;
且其内切圆半径为:R-2=3,即其面积=(
3
5
)
2
S△ABC=75.6;
由图知:S四边形AHDG=2S△AGD=AG•1=AG,同理S四边形PEQB=BQ,S四边形CNFM=CM;
∴S四边形AHDG+S四边形PEQB+S四边形CNFM=AG+CM+BQ=
1
2
(C△ABC-C△DEF)=8.4;
而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN=S单位圆=π,
∴所求的面积=75.6+8.4-π=84-π.
举一反三
如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,cosB=
1
3
点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E,且EF⊥AC,垂足为F,设OB=x,CF=y.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围).
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如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,且PC2=PA•PB.求证:
(1)PC是⊙O的切线;
(2)若sin∠ACB=


5
3
,求弦AB的长;
(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连接CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长.
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如图,⊙A与x轴交于B(2,0)、C(4,0)两点,OA=3,点P是y轴上的一个动点,PD切⊙O于点D,则PD的最小值是______.
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如图,AB是⊙O的直径,经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线;
(2)过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E.且AB=


5
,BD=2.求线段AE的长.
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已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于M点,AF是两圆的外公切线,A、B是切点,DF经过O1、O2,分别交⊙O1于D、⊙O2于E,AC是⊙O1的直径,BC经过M点,连接AD.
(1)求证:ADBC;
(2)求证:MF2=AF•BF;
(3)如果⊙O1的直径长为8,tan∠ACB=
3
4
,求⊙O2的直径长.
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