如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.
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如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.
题型:不详
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来源:
如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.
答案
证明:作CQ⊥PD于Q,连接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,
所以PC
2
=PQ?PO(射影定理),
又PC
2
=PE?PF,
所以EFOQ四点共圆,
∠EQF=∠EOF=2∠BAD,
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF,
而CQ⊥PD,所以∠EQC=∠FQC,因为∠AEC=∠PQC=90°,
故B、E、C、Q四点共圆,
所以∠EBC=∠EQC=
1
2
∠EQF=
1
2
∠EOF=∠BAD,
∴CB
∥
AD,
所以BO=DO,即四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,BC=AD.
举一反三
如图,PB是⊙O的割线,点A,B是它与⊙O的交点,PO交⊙O于点C,AB=4,PA=6,PC=4,求OC.
题型:广州
难度:
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如图,PA与⊙O相切于点A,PBC为割线,PA=4,PC=8,则PB=______.
题型:泉州
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如图,P是⊙O直径BC延长线上的一点,PA与⊙O相切于A,CD⊥PB,且PC=CD,CD=3,则PB=______.
题型:黔东南州
难度:
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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于E,DE⊥BE.
(1)已知DE=4,BE=6,求tan∠CBE的值.
(2)证明:AC是⊙O的切线.
题型:雅安
难度:
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已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A.
(1)观察图形,猜想BD与⊙O的位置关系:______;
(2)证明第(1)题的猜想.
题型:不详
难度:
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