如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=3，AC=15，求AB的长．

题型：乌兰察布难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=3，AC=

15

，求AB的长．

答案

（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴OC∥AD．
∴AD⊥CD．

（2）连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC．
∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

．
∴AB=

AC2

AD

=

( 15 )2

3

=5．