已知⊙O 中，AC 为直径，MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B。 （Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB 的大小； （Ⅱ）如图②，过点B 作BD⊥AC

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已知⊙O 中，AC 为直径，MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B。
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B 作BD⊥AC于E ，交⊙O于点D ，若BD=MA ，求∠AMB 的大小。

答案

解：（Ⅰ）∵MA 切⊙O 于点A ，
∴∠MAC=90 °，
又∠BAC=25 °，
∴∠MAB= ∠MAC- ∠BAC=65 °，
∵MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B，
∴MA=MB，
∴∠MAB= ∠MBA，
∴∠MAB=180 °- （∠MAB+ ∠MBA ）=50 °；
（Ⅱ）如图，连接AD 、AB，
∵MA ⊥AC，
又BD⊥AC ，
∴BD ∥MA ，
又BD=MA ，
∴四边形MADB 是平行四边形，
又MA=MB，
∴四边形MADB 是菱形，
∴AD=BD，
又∵AC 为直径，AC ⊥BD ，
∴，
∴AB=AD ，
又AD=BD ，
∴AB=AD=BD ，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠D=60 °，
∴在菱形MADB 中，∠AMB= ∠D=60°。