已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图），P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心。

题型：上海中考真题难度：来源：

已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图），P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心。
（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC·AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离。

答案

解：（1）证明：如图：
连结OB，OP，
∵O是等边三角形BPQ的外心，
∴OB=OP，
圆心角，
当OB不垂直于AM时，作OH⊥AM，OT⊥AN，垂足分别为H，T，
由，且∠A=60°，
，
∴，
∴，
∴，
∴OH=OT，
∴点O在∠MAN的平分线上
当时，，
即OP⊥AN，
∴点O在∠MAN的平分线上，
综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上；（2）如图：
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴，
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y=4x，
定义域为x>0；（3）①如图1：当BP与圆I相切时，AO=，
②如图2，当BP与圆I相切时，AO=；
③如图3，当BQ与圆I相切时，AO=0。