如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C。（1）求证：AB=AC；（2）当=时，①求tan∠ABE的值；②如果AE

题型：河南省中考真题难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C。
（1）求证：AB=AC；
（2）当=时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

答案

解：（1）∵BE切⊙O于点B，
∴∠ABE=∠C，
∵∠EBC=2∠C，即∠ABE+∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；
（2）①如图，连接AO，交BC于点F，
∵AB=AC
∴
∴AO⊥BC，且BF=FC，
∵
∴
∴
设，，由勾股定理，得AF=，
∴，
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，
∴△EBA∽△ECB，
∴，
∵，
∴（※），
由切割线定理，得
将（※）式代入上式，得，
∵，
∴。