如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD=3cm。（1）求⊙O的直径。（2）若动点M以3cm/s

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如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD=3cm。
（1）求⊙O的直径。
（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t（0≤t≤2），连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？

答案

（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD=90°，
在△OBC中，∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=30°，
又∠OBC=∠BCD+∠D，
∴∠D=30°，
∴AC=CD=3，
在Rt△ABC中，cosA=，
∴AB==6（cm）；（2）△BMN中，
①当∠BNM=90°时，cos∠MBC=，即cos60°=，
∴t=1，
此时BM=3，BN=1.5，MN=，
∴S_△BMN=BN·MN=（cm²）；
②当∠NMB=90°时，cos∠MBC=，即cos60°=，
∴t=1.6，
此时BM=BN=MN=，
∴S_△BMN=BM·MN=×（cm²）。