如图所示AB是⊙O的直径，D是圆上一点，，连结AC，过点D作弦AC的平行线MN。（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长。

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图所示AB是⊙O的直径，D是圆上一点，

，连结AC，过点D作弦AC的平行线MN。
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长。

答案

解：（1）连结OD，交AC于E，如图所示，因

，
所以OD⊥AC 又AC∥MN，
所以OD⊥MN
所以MN是是⊙O的切线；
（2）设OE=ｘ，因AB=10，
所以OA=5，ED=5-x
又因AD=6
在直角三角形OAE和直角三角形DAE中，因OA²-OE²=AE²-ED²，
所以5²-x²=6²-（5-x）²
解得x=

因AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°
所以OD∥BC
所以OE是△ABC的中位线，
所以BC=2OE=2×

。

举一反三

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M。
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM·CF；
（3）若过点D作DG//BE交EF于G，过G作GH//DE交DF于H，则易知△DHG是等边三角形，设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由。