已知：如图，AB是半圆O的直径，OD是半径，BM切半圆O于点B，OC与弦AD平行且交BM于点C。（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若AB的长为4，点D在半圆

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：如图，AB是半圆O的直径，OD是半径，BM切半圆O于点B，OC与弦AD平行且交BM于点C。
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若AB的长为4，点D在半圆O上运动，当AD的长为1时，求点A到直线CD的距离。

答案

解：（1）∵BM切半圆D于点B，AB为直径，
∴∠CBO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAB=∠1，∠3=∠2，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠3，∠1=∠2，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD于点D，
又∵OD为半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线。（2）过点A作AN⊥CD于点N，连接DB，
∴∠AND=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90° 由（1）知：∠NDO=90°
∴∠NDA+∠3=90°
∵∠DAB=∠3，
∴∠NDA=∠DBA
∴△DNA∽△BDA，
∴
 ∵AD=1，AB=4，
∴AN=1/4。