如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠C=∠BED。（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AC

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠C=∠BED。
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AC=8，cos∠BED=，求AD的长。

答案

解：（1）AC与⊙O相切证明如下，
∵OC ⊥AD，
∴∠AOC+∠α=90°
又∠C=∠BED=∠α
∴∠AOC+∠C=90°，
∴AB⊥AC，
即AC与⊙O相切；
（2）连接BD，
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，AC=8，
∵cos∠C=cos∠BED= 4/5，
∴CO=10，AO=6，
∴AB=12，
在Rt △ABD中，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB =90°
∵cos∠α=cos∠BED=4/5，
∴AD=AB·cos∠α=12×4/5=48。