已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，延长CA交⊙O于点F，连接DF，DE⊥CF于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，

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已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，延长CA交⊙O于点F，连接DF，DE⊥CF于点E。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cosC=，求EF的长。

答案

（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，∴∠B=∠1
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠1=∠C，∴OD//AC，
∵DE⊥CF于点E，∴∠CED=90°，∴∠ODE=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∵cosC=cosB=又∵AB=10，∴BD=AB·cosB=8
∵∠F=∠B=∠C，∴DF=DC=8，且cosF=cosC=
在Rt△DEF中，EF=DF·cosF=。