如图所示,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE。(1)求证:DE是⊙O的切线; (2)连结OE、AE,当

如图所示,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE。(1)求证:DE是⊙O的切线; (2)连结OE、AE,当

题型:专项题难度:来源:
如图所示,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE。
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连结OE、AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形, 并在此条件下求sin∠CAE的值。
答案

解:(1)证明:连结OD、DB,
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠CDB=90°,
∵E为BC边上的中点,
∴CE=EB=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠EDB+∠ODB=∠EBD+ ∠OBD。
在Rt△ABC中,∠EBD+∠OBD=90°,
∴∠EDO=∠EDB+∠ODE=90°。
∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O切线。
(2)解:欲使四边形AOED为平行四边形,只需DE=OA,
∵DE=BC,OA=AB,
BC=AB,即BC=AB,
∴∠ABC=90°,
∴∠CAB=45°,
故当∠CAB=45°时,四边形AOED 是平行四边形
 作EF⊥AC,垂足为F,
设CE=EB=ED=k,
∴AB=2k,∴DB=,∴EF=
∴AE=

举一反三

如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连结DE.
(1)求证:DE与圆O相切;
(2)若圆O的半径为,DE=3,求AE。



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如图,在⊙O中,直径CD的长度为10cm ,AB是弦,且AB⊥CD于M,OM=3cm,求弦AB的长。
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如图所示,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB。
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长。
题型:广东省期末题难度:| 查看答案

如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B。
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,AB=6,求AD的长。


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如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A 作直线MN,若∠MAC=∠ABC。
(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)设D是的中点,连结BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F,求证:FD=FG;
(3)在(2)的条件下,若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积。
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