(1)证明:取AD的中点O1,BD的中点O2,连接O1E,O2F,并过O2作O2H⊥O1E,交O1E于H. ∵EF是两圆的公切线, ∴O1E⊥EF,O2F⊥EF, 又∵O2H⊥O1E, ∴四边形EHO2F是矩形 ∴EF=O2H 在Rt△O1O2H中,O2H2=(AD+BD)2-(AD-BD)2=AD•BD ∵CD⊥AB ∴CD2=AD•BD ∴CD=O2H=EF.
(2)证明:先设CD和EF交于点G, ∵EF,CD都是两圆的切线, ∴GD=GE=GF. ∴△EDF是直角三角形. ∴∠EDF=90°. 又∵DE=ED,∠FED=∠CDE,CD=FE, ∴△EDF≌△DEC. ∴∠DEC=90°. 同理∠DFC=90°. ∴四边形EDFC是矩形.
(3)设x1,x2是方程的两个实数根, 根据题意得, 还能得到,x12+x22=22,三个式子联合, 解得,m1=-2,m2=6 根据图形可知,0<DB<5 DB=|-2|=2, AD=8. ∵四边形EDFC是矩形, ∴C、F、B在同一直线上,同样C、E、A也在同一直线上. ∴DF∥AC. ∴=. 由(1)知,CD2=AD•BD=16, ∴CD=4. 在Rt△CDB中,BC==2, ∴DE=×BC=. 同理可得,DF=. ∴S矩形EDFC=CF•DF=×=.
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