解:(1)①折叠后的 所在圆O"与⊙O是等圆,∴O"A=OA=2; ②当 经过圆O时,折叠后的 所在圆O"在⊙O上, 如图2所示,连接O"A.OA.O"B,OB,OO" ∴△OO"A△OO"B为等边三角形, ∴∠AO"B=∠AO"O+∠BO"O=60°+60°=120° ∴ = = ; ③如图3所示,连接OA,OB, ∴OA=OB=AB=2, ∵△AOB为等边三角形,过点O作OE⊥AB于点E, ∴OE=OAsin60°= . (2)①如图4,当折叠后的 与 所在圆外切于点P时,过点O作EF⊥AB交AB于点H、交 于点E,交CD于点G、交 于点F,即点E、H、P、O、G、F在直径EF上, ∵AB∥C D, ∴EF垂直平分AB和CD,根据垂径定理及折叠,可知PH= PE,PG= PF, 又∵EF=4, ∴点O到AB.CD的距离之和d为:d=PH+PG= PE+ PF= (PE+PF)=2, ②如图5,当与不平行时,四边形是平行四边形. 证明如下:设O"O""为和所在圆的圆心, ∵点O"与点O关于AB对称,点O""于点O关于CD对称, ∴点M为的OO"中点,点N为OO""的中点 ∴折叠后的 与 所在圆外切, ∴连心线O"O""必过切点P, ∴折叠后的 与 所在圆与⊙O是等圆, ∴O"P=O""P=2, ∴PM= OO""=ON,PM=ON, ∴四边形OMPN是平行四边形. |