如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.(1)求证:BD=DC=DI;(2)若圆O的半径为

如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.(1)求证:BD=DC=DI;(2)若圆O的半径为

题型:不详难度:来源:
如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
答案
(1)证明:∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
BD
=
DC

∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI为等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.

(2)当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,
∴圆心O在△ABC外.
连接OB、OD、OC.
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC为正三角形.
∴OB是∠DBC的平分线,
延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,
∴BE=
1
2
BD,
又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×


3
2
=10


3

∴CE=BD•sin60°=10


3
×


3
2
=15,
∴S△BDC=
1
2
BD•CE=
1
2
×10


3
×15=75


3

答:△BDC的面积为75


3
cm2
举一反三
边长为a的正六边形的边心距等于(  )
A.


3
2
a
B.
a
2
C.aD.


3
2
a2
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正八边形的中心角等于______度;半径为2的正六边形的边长为______,其边心距为______.
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若正六边形的边长为8cm,则它的边心距为(  )
A.8cmB.6cmC.4


3
cm
D.2


3
cm
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如图,⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆,⊙O的半径是2,则正六边形ABCDEF的面积为______.
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如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=80°,求∠BAD和∠BCD的度数.
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