如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一

题型：不详难度：来源：

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）

答案

∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=

AD2-DO2

=

3

，
第一次旋转的弧长=

60π× 3

180

=

3

3

π，
∵第一、二次旋转的弧长和=

60π× 3

180

+

60π× 3

180

=

3

3

π+

3

3

π=

2 3

3

π，
第三次旋转的弧长为：

60π×1

180

=

π

3

∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（

2 3

3

π+

π

3

）=（4

3

+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（

2 3

3

π+

π

3

）=

2 3 +1

3

nπ．
故答案为：

3

3

π，（4

3

+2）π，

2 3 +1

3

nπ．