(1)先解一个特例(如图).设只有两个圆轮⊙O1,⊙O2,2|O1O2|=l". 显然,带动两轮转动的皮带长度为 s=l"+2πR.
(2)再回到原题,我们猜想: s=l+2πR. 以下证实这个猜想是正确的. 为此,设皮带s与各圆轮接触的四个弧为
| A1A8 | ,
| A2A3 | ,
| A4A5 | ,
| A6A7 |
由于它们是等圆上的弧,因此,只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可. 事实上,引O1A"3∥O2A3,由于O1A1∥O2A2,所以∠A1O1A"=∠A2O2A3,∴
| A1A3′ | =
| A2A3 | .同理, 引O1A′6∥O4A6,则
| A8A6′ | =
| A7A6 | .又由于∥O2A3,O2A3∥O1A3′∴O3A4∥O1A3′.同理,O3A5∥O1A′,∴∠A4O3A5=∠A′3O1A′6,∴
| A4A5 | =
| A′3A′6 | ∴这四段弧恰好组成一个以O1为圆心,以R为半径的圆.因此,四圆弧之长为2πR.又因为O1O2=A1A2,O2O3=A3A4,O3O4=A5A6,O1O4=A7A8,所以 l=A1A2+A3A4+A5A6+A7A8. 所以,所求皮带长为s=l+2πR. |