证明:(1)连接DO. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠C=60°. ∵OA=OD, ∴△OAD是等边三角形. ∴∠ADO=60°, ∵DF⊥BC, ∴∠CDF=90°-∠C=30°,(2分) ∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°, ∴DF为⊙O的切线;(3分)
(2)∵△OAD是等边三角形, ∴AD=AO=AB=2. ∴CD=AC-AD=2. Rt△CDF中, ∵∠CDF=30°, ∴CF=CD=1. ∴DF==;(5分)
(3)连接OE,由(2)同理可知CE=2. ∴CF=1, ∴EF=1. ∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)•DF=, ∴S扇形OED==, ∴S阴影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=-.(7分)
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