如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接
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如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′、CE. 求证:(1)△ADA′≌△CDE; (2)直线CE是线段AA′的垂直平分线. |
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。 根据旋转的方法可得:∠EA′D=45°,∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。 ∵在△AD A′和△CDE中,AD=CD,∠EDC=∠A′DA=90°,A′D=DE, ∴△ADA′≌△CDE(SAS)。 (2)∵AC=A′C,∴点C在AA′的垂直平分线上。 ∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠CAE=45°。 ∵AC=A′C,CD=CB′,∴AB′=A′D。 ∵在△AEB′和△A′ED中,∠EAB′=∠EA′D,∠AEB′=∠A′ED,AB′=A′D, ∴△AEB′≌△A′ED(AAS)。∴AE=A′E。 ∴点E也在AA′的垂直平分线上。∴直线CE是线段AA′的垂直平分线。 |
解析
正方形的性质,旋转的性质,等腰三角形的判定,全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定。 【分析】(1)根据正方形的性质可得AD=CD,∠ADC=90°,∠EA′D=45°,则∠A′DE=90°,再计算出∠A′ED=45°,根据等角对等边可得AD=ED,即可利用SAS证明△AA′D≌△CED。 (2)首先由AC=A′C,可得点C在AA′的垂直平分线上;再证明△AEB′≌△A′ED,可得AE=A′E,从而得到点E也在AA′的垂直平分线上,根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。 |
举一反三
正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合,则这个角至少为 ▲ 度 . |
下列几何图形中,对称性与其它图形不同的是【 】 |
如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°, AC=4cm,将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A/B/C的位置,且A,C,B/三点在同一条直线上,则点A经过的路径的长度是 ( ) |
如图,已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)图中点A的坐标为(0,4);点C的坐标为(3,1); (2)画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′; (3)求(2)中线段CA旋转到C′A′所扫过的面积. |
如图13-1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE, AG⊥CE. (1)当正方形GFED绕D旋转到如图13-2的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (2)当正方形GFED绕D旋转到如图13-3的位置,点F在边AD上,延长CE交AG于H,交AD于M. ①求证:AG⊥CH; ②当AD=4,DG=时,求CM的长. |
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