观察下列图形： 如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为an、an-1，问：它们之间有什么数

题型：竞赛题难度：来源：

观察下列图形： 如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为a_n、a_n-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式。
（2）请你用含n的代数式来表示a_n，并证明你的结论。

答案

解：（1）按题中图形的排列规律可得：a_n =3a_n-1 +2
（2）由（1）得：a_n =3a_n-1 +2 ，a_n-1 =3a_n-2 +2 ，
             两式相减得： a_n -a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）                          ①
            当n分别取3、4、5、…、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
              a₃-a₂=3（a₂-a₁）, a₄-a₃=3（a₃-a₂）, a₅-a₄=3（a₄-a₃）,…, a_n-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）
              显然a_n-a_n-1≠0，
        以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
        a_n-a_n-1=3^n-2 (a₂-a₁)                                                        ② 
         ∵ a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=（a_n-2），
         将它们代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1