设集合A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}.(1)设f(x)=x2-x-3,求集合A与B;(2)设f(x)=x2-(2a-1)x+a2(常数
题型:解答题难度:一般来源:不详
设集合A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}. (1)设f(x)=x2-x-3,求集合A与B; (2)设f(x)=x2-(2a-1)x+a2(常数a∈R),求证:A=B. (3)猜测集合A与B的关系并给予证明. |
答案
解(1)由A={x|f(x)=x},知集合A的元素就是方程f(x)=x的解. 即f(x)=x⇒x2-x-3=x⇒x=-1或x=3.所以A={-1,3}. 同理,集合B的元素就是方程f[f(x)]=x的解 即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x⇔(x2-x-3)2-x2=0.(x2-2x-3)(x2-3)=0⇒x=-1 , x=3 , x=±.所以B={ -1 , 3 , , - }. (2)由f(x)=x2-(2a-1)x+a2, 得方程f(x)-x=(x-a)2=0的解为x=a,所以A={a}; 而方程f[f(x)]=x的解是集合B的元素, 即[f(x)]2-f(x)=[f(x)-a]2⇒[(x-a)2+x-a]2+(x-a)2=0.(x-a)2[(x-a+1)2+1]=0⇒x=a,所以B={a}. 故A=B. (3)若A=∅,显然A⊆B. 若A≠∅,任取x0∈A,于是f(x0)=x0, 则f[f(x0)]=f(x0)=x0,所以x0∈B,∴A⊆B. |
举一反三
若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=______. |
设集合S={1,2,3,…,2008},现对S的任一非空子集X,令ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的ax的平均数为______. |
若M={x|ax2-x+2=0}是单元素集,则实数a=______. |
已知P={x|x=3k,k∈z},Q={x|x=3k+1,k∈z},S={x|x=3k-1,k∈z},若a∈P,b∈Q,c∈S则有.( )A.a+b-c∈P | B.a+b-c∈Q | C.a+b-c∈S | D.a+b-c∈P∪Q |
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五个关系式:①{a,b}={b,a};②{0}=∅;③∅∈{0};④0∈{0};⑤∅⊆{0},其中正确的个数为( ) |
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